Merge pull request #172 from vzsky/add_0015

Author: MasterIceZ

md/0015.md

@@ -0,0 +1,23 @@
+ให้ $A < B < C$ แทนตำแหน่งของจิงโจ้ทั้งสามตัวตามโจทย์ 
+
+ขั้นแรก เราจะให้เหตุผลว่ามีวิธีที่จิงโจ้สามารถกระโดดได้ $C - B - 1$ ตา โดย
+1. จิงโจ้ตัวแรกกระโดดจาก $A$ ไป $B+1$
+2. จิงโจ้ตัวที่สองกระโดดจาก $B$ ไป $B+2$ 
+3. จิงโจ้ตัวแรกกระโดดจาก $B+1$ ไป $B+3$
+4. ไปเรื่อย ๆ จนไม่สามารถกระโดดต่อได้ จะได้  $C - B - 1$ ตา พอดี
+
+
+ด้วยเหตุผลเดียวกัน มีวิธีที่จิงโจ้สามารถกระโดดได้ $B - A - 1$ ตา โดย
+1. จิงโจ้ตัวที่สามกระโดดจาก $C$ ไป $A+1$
+2. จิงโจ้ตัวที่สองกระโดดจาก $A$ ไป $A+2$ 
+3. จิงโจ้ตัวที่สามกระโดดจาก $A+1$ ไป $A+3$
+4. ไปเรื่อย ๆ จนไม่สามารถกระโดดต่อได้ จะได้  $B - A - 1$ ตา พอดี
+
+ถึงตรงนี้ คำตอบจะเป็นอย่างน้อย $\text{max}(B-A-1, C-B-1)$. เราสามารถพิสูจน์ต่อได้ว่าจิงโจ้จะเล่นมากกว่านั้นไม่ได้โดยใช้หลักการ mathematical induction
+
+**บทพิสูจน์:**
+ค่อนข้างชัดเจนว่าในกรณีที่ $\text{max}(B-A-1, C-B-1) = 1$ จิงโจ้จะเล่นได้อย่างมากแค่ 1 ตา เราจึงสมมติว่าจิงโจ้เล่นได้มากสุด $\text{max}(B-A-1, C-B-1)$ ตาเสมอเมื่อ $\text{max}(B-A-1, C-B-1) \le n$ สำหรับจำนวนเต็ม $n$ จำนวนหนึ่ง เพื่อพิสูจน์ เราจะต้องแสดงว่าเมื่อ $\text{max}(B-A-1, C-B-1) = n+1$ จิงโจ้จะเล่นได้มากสุด $n+1$ ตาเท่านั้น
+
+เมื่อ $\text{max}(B-A-1, C-B-1) = n+1$ ในตาแรก ไม่จิงโจ้ตัวแรกก็ตัวที่สามต้องกระโดด สมมติให้เป็นตัวแรก จิงโจ้จะต้องกระโดดไประหว่างอีกสองตัว นั่นคือกระโดดไปที่ $A'$ เมื่อ $B < A' < C$. เรารู้ว่า $\text{max}(A'-B-1, C-A'-1) \le n$ ดังนั้นจิงโจ้จะกระโดดได้อีกไม่เกิน $n$ ครั้ง เมื่อรวมกับที่จิงโจ้กระโดดในตาแรกจะเป็น $n+1$ ครั้ง
+ 
+ดังนั้นคำตอบคือ $\text{max}(B-A-1, C-B-1)$