Лабораторная работа 5. Захарин Сергей

data/data.yaml

@@ -3175,5 +3175,136 @@
 
     ' 
 
+- answer: 'Постовской системой соответствия над алфавитом Σ называется пара конечных последовательностей
+    ((x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n)), где x_i ∈ Σ* и y_i ∈ Σ* для всех i.
+    То есть постовская система соответствия - это набор пар строк (x_i, y_i), где x_i и y_i - это строки над некоторым алфавитом Σ,
+    которые связаны друг с другом определённым образом.
 
-
+    '
+  author: Захарин Сергей
+  id: 182
+  questions:
+  - 'Что такое постовская система соответствий?
+
+    '
+- answer: 'Языком Лукасевича над n + 1 буквами называется контекстно-свободный язык над алфавитом {a_0, a_1,...,a_n}, порождаемый грамматикой:
+    S → a_0, S → (a_1)S, S → (a_2)SS, ..., S → (a_n)S^n.
+    Замечание: при любом n ∈ ℕ эта грамматика является однозначной.
+
+    '
+  author: Захарин Сергей
+  id: 183
+  questions:
+  - 'Что такое язык Лукасевича?
+
+    '
+- answer: 'Массовой задачей (problem) называется бесконечная серия “однотипных” индивидуальных задач (instance),
+    каждая из которых имеет определённый ответ. С каждой массовой задачей связана некоторая фиксированная схема кодирования (encoding scheme),
+    которая отображает индивидуальные задачи в их коды — слова в некотором фиксированном алфавите. При этом требуется, чтобы множество кодов всех
+    индивидуальных задач было разрешимым.
+
+    '
+  author: Захарин Сергей
+  id: 184
+  questions:
+  - 'Что такое массовая задача?
+
+    '
+- answer: 'Задачей распознавания (decision problem) называется массовая задача, в которой ответами индивидуальных задач могут быть только “да” и “нет”
+    (то есть существует только два возможных ответа).
+    Пример: Зафиксируем некоторый алфавит Σ. Рассмотрим следующие однотипные индивидуальные задачи: даны два слова x ∈ Σ* и y ∈ Σ*, необходимо выяснить,
+    является ли слово x подсловом слова y. Пусть # — новый символ, не принадлежащий алфавиту Σ. Кодом индивидуальной задачи про конкретные слова x и y будем считать
+    слово x#y в алфавите Σ ∪ {#}. Эта массовая задача является задачей распознавания.
+
+    '
+  author: Захарин Сергей
+  id: 185
+  questions:
+  - 'Что такое задача распознавания?
+
+    '
+- answer: 'Пусть x_0, x_1, ..., x_p при 0 ≤ p < ∞ — вектора в множестве ℕ^m.
+    Множество L = { b + \sum_{i=1}^{p} k_i x_i ⏐ b ∈ B, k ≥ 0, k_1, ..., k_p ∈ ℕ } = x_0 + { x_1, ..., x_p }*
+    называется линейным (англ. linear) подмножеством множества ℕ^m. Говоря проще, линейное подмножество ℕ^m может быть построено с помощью любого m-размерного
+    вектора x_0 добавлением к нему произвольного числа m-размерных векторов из конечного множества, например, 1 раз x_1 и 0 раз остальные вектора,
+    1 раз x_1, 1 раз x_2 и 0 раз остальные, и так далее. Примечание: \sum_{i=1}^{p} обозначается сумма по i от 1 до p.
+    Пример: Множество L={(0,0)+k_1(0,2)+k_2(2,0) ∣ k_1,k_2∈ℕ} = {(2k_1,2k_2) ∣ k_1,k_2∈ℕ} является линейным.
+
+    '
+  author: Захарин Сергей
+  id: 186
+  questions:
+  - 'Что такое линейное множество?
+
+    '
+- answer: 'Множество A ⊆ ℕ^n называется полулинейным (semilinear), если оно является объединением конечного числа линейных множеств.
+    Пример: Пусть L1=(1,2)+{(3,5),(7,11)}* , L2=(1,1)+{(2,3),(5,7),(4,0)}*, L1 и L2 линейные подмножества ℕ^2, а L=L1∪L2 является полулинейным подмножеством ℕ^2.
+
+    '
+  author: Захарин Сергей
+  id: 187
+  questions:
+  - 'Какое множество называется полулинейным?
+
+    '
+- answer: 'Через Ψ_Σ будем обозначать функцию Ψ_Σ: Σ* → ℕ^m, определённую следующим
+    образом: Ψ_Σ(w) = 〈 |w|_{a_1}, ..., |w|_{a_m} 〉, где |w|_{a_i} — число появлений символа a_i в слове w.
+    Аналогично, каждому языку L ⊆ Σ* ставится в соответствие множество Ψ_Σ(L) ⊆ ℕ^m,
+    определённое так: Ψ_Σ(L) = { Ψ_Σ(w) ⏐ w ∈ L }. Функция называется отображением Парика соответственно слова и языка.
+    Пример: Пусть Σ = {a,b} и L = {a,abb,bba}. Тогда Ψ_Σ(L)={⟨1,0⟩,⟨1,2⟩}.
+
+    '
+  author: Захарин Сергей
+  id: 188
+  questions:
+  - 'Что такое отображение Парика?
+
+    '
+- answer: 'Если язык L ⊆ Σ* является контекстно-свободным, то множество Ψ_Σ(L) является полулинейным. Где Ψ_Σ(L) - отображение Парика.
+    Множество A ⊆ ℕ^n называется полулинейным, если оно является объединением конечного числа линейных множеств. Определение линейного множества:
+    Пусть x_0, x_1, ..., x_p при 0 ≤ p < ∞ — вектора в множестве ℕ^m.
+    Множество L = { b + \sum_{i=1}^{p} k_i x_i ⏐ b ∈ B, k ≥ 0, k_1, ..., k_p ∈ ℕ } = x_0 + { x_1, ..., x_p }*
+    называется линейным (англ. linear) подмножеством множества ℕ^m. Говоря проще, линейное подмножество ℕ^m может быть построено с помощью любого m-размерного
+    вектора x_0 добавлением к нему произвольного числа m-размерных векторов из конечного множества, например, 1 раз x_1 и 0 раз остальные вектора,
+    1 раз x_1, 1 раз x_2 и 0 раз остальные, и так далее. Примечание: \sum_{i=1}^{p} обозначается сумма по i от 1 до p.
+    Пример: Пусть Σ = {a, b}, тогда рассмотрим язык L = {(a^m)(b^n) | m > n или m простое}. Можно проверить, что множество Ψ_Σ(L) не является полулинейным. Следовательно,
+    язык L не является контекстно-свободным.
+
+    '
+  author: Захарин Сергей
+  id: 189
+  questions:
+  - 'Теорема Парика
+
+    '
+- answer: 'Произвольный язык L ⊆ Σ* является контекстно-свободным тогда и только тогда, когда существуют натуральное число n,
+    регулярный язык L_1 над алфавитом Σ^{(D)}_n = {a_1, b_1, a_2, b_2, ..., a_n, b_n} и гомоморфизм h: (Σ^{(D)}_n)* → Σ*, такие что 
+    L = h(L^{(D)}_n ⋂ L_1), где L^{(D)}_n — язык Дика над 2n буквами.
+    Пример: Рассмотрим язык L = {a^n b^n | n ≥ 0}. Пользуясь теоремой Хомского-Шютценберже, докажем, что он КС. Возьмем n = 1, тогда
+    язык Дика строится над алфавитом {a_1, b_1} и включает, например, такие строки: L^{(D)}_1 = {ε, a_1 b_1, a_1 a_1 b_1 b_1, a_1 b_1 a_1 b_1, ...}.
+    Пусть регулярный язык L_1 над расширенным алфавитом {a_1, b_1}: L_1 = {a_1^m b_1^m | m ≥ 0}. Гомоморфизм h отображает символы a_1 и b_1 расширенного
+    алфавита в исходный алфавит Σ = {a, b}: h(a_1) = a, h(b_1) = b. Пересечение языка Дика и регулярного языка даёт строки, в которых количество a_1 равно
+    количеству b_1, причём все a_1 предшествуют всем b_1: L^{(D)}_1 ⋂ L_1 = {a_1^n b_1^n | n ≥ 0}. Применяя гомоморфизм h, мы получаем язык:
+    h(L^{(D)}_1 ⋂ L_1) = {a^n b^n | n ≥ 0}, который и равен L. Следовательно, L - КС язык.
+
+    '
+  author: Захарин Сергей
+  id: 190
+  questions:
+  - 'Теорема Хомского-Шютценберже о представлении контекстно-свободного языка
+
+    '
+- answer: 'Представление КС-языка через язык Дика и регулярный язык (КС-язык в представлении Хомского-Шютценберже): будем говорить,
+    что КС-язык над некоторым алфавитом задан в представлении Хомского-Шютценберже, если определены
+    1) язык Дика, связанный с некоторым числом n ∈ ℕ
+    2) регулярный язык, построенный над расширенным алфавитом, который состоит из символов вида a_1, b_1, a_2, b_2, ..., a_n, b_n
+    3) морфизм, который отображает строки, составленные из символов расширенного алфавита, в строки исходного алфавита.
+    В итоге КС-язык получается как образ пересечения языка Дика и регулярного языка при применении этого морфизма.
+
+    '
+  author: Захарин Сергей
+  id: 191
+  questions:
+  - 'Представление КС-языка через язык Дика и регулярный язык.
+
+    '